Počas 19. storočia si matematici začali čoraz viac uvedomovať, že ich predchodcovia sa príliš často spoliehali pri vysvetľovaní na zamlčané alebo nie explicitne formulované predpoklady, ktoré sa však nedali vždy jednoducho verifikovať, alebo boli dokonca nepravdivé.
Prvou významnou štrbinou v nepriestrelnej štruktúre starovekej matematiky bol objav neeuklidovskej geometrie na začiatku 19. storočia. Ak sa aj sám Euklides dopustil používania kontroverzných predpokladov, tak ktorú časť matematiky máme považovať za bezpečnú?
Na konci 19. storočia začala skupina filozoficky ladených matematikov, ako boli Leopold Kronecker, Giuseppe Peano, David Hilbert a Bertrand Russell, veľmi podrobne skúmať samotné základy matematiky. Zaujímali sa o to, čo konkrétne vieme s istotou vyhlásiť za pravdu a či vieme nájsť skupinu základných postulátov matematiky, o ktorej by sme vedeli povedať, že je nepopierateľná.
Nemecký matematik Kronecker usudzoval, že prirodzené čísla 1, 2, 3… sú dané Bohom, a preto zákony aritmetiky, ako je rovnica 1 + 1 = 2, pokladal za vierohodné. Lenže iní logici považovali prirodzené čísla za menej dôležitý koncept, než sú množiny. Kládli otázku, čo presne znamená výrok jeden plus jeden rovná sa dva. V podstate to znamená, že ak dáme dokopy jednu množinu objektov s jedným prvkom a inú množinu s jedným prvkom, ale odlišným od toho z prvej množiny, dostaneme vždy množinu s dvoma prvkami. Na to, aby sme tomuto vysvetleniu dali presný zmysel, však potrebujeme presne vedieť, čo myslíme pod pojmom množina, čo vieme o množinách a prečo je to tak, a to sú zasa nové otázky.
V roku 1910 matematik Alfred North Whitehead a filozof Bertrand Russell publikovali rozsiahlu a náročnú trojdielnu prácu Principia Mathematica (Základy matematiky), ktorú môžeme považovať za kodifikáciu prepisu aritmetiky ako časti teórie množín. Vskutku by ste však nechceli dať túto knihu osemročnému dieťaťu, aby pochopilo, prečo 1 + 1 = 2. Whitehead a Russell až po 362 stranách prvého dielu prichádzajú na miesto, kde konštatujú, že zo spôsobu, akým bol aritmetický súčet definovaný, sa teraz dá odvodiť, že 1 + 1 = 2. Poznamenajme, že na tomto mieste zatiaľ stále presne nevysvetľujú, čo je súčet. To si nechávajú až do druhého dielu svojej knihy, kde sa napokon v podobe vety na 86. strane objaví konečne 1 + 1 = 2. S humorom podotkli: Uvedené tvrdenie je občas užitočné.
Rozhodne nemáme v úmysle uťahovať si z Whiteheada a Russella. Boli jednými z prvých ľudí, ktorí sa dostali až na dosah prekvapujúcej zložitosti teórie množín. Sám Russell napríklad zistil, že niektoré operácie s množinami nemožno dobre definovať. Napríklad sa nedá hovoriť o množine všetkých množín, lebo také niečo automaticky vedie k sporu. To znamená k matematickej nemožnosti, keď je výrok naraz pravdivý aj nepravdivý.
Toto poznanie však vedie k novej otázke. Russell a Whitehead si dali námahu s tým, aby odstránili paradoxy plynúce z množiny všetkých množín. Lenže čo ak ich axiómy predsa len vedú k nejakým iným paradoxom, ktoré ešte len čakajú na objavenie?
Odpoveď na túto otázku sa objavila, a to v prekvapujúcej podobe v roku 1931, keď rakúsky logik s nemeckým pôvodom Kurt Friedrich Gödel s priamou odvolávkou na Whiteheadovo a Russellovo dielo publikoval článok s názvom Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (O formálne nerozhodnuteľných tvrdeniach v diele Principia Mathematica a v príbuzných systémoch). Gödel dokázal, že nijaké axiómy teórie množín, dostatočne silné na to, aby sa z nich dala vyvodiť aritmetika, neumožňujú rozhodnúť o ich konzistentnosti. Znamená to, že ešte vždy existuje možnosť perspektívne korektného dôkazu, že 1 + 1 = 3. Nielen to, navždy bude jestvovať možnosť, že nikdy nebudeme mať absolútnu istotu v nespornosti aritmetiky, ktorú používame, pokiaľ zostane založená na teórii množín.
Popravde však matematici neprichádzajú o pokojný spánok pre možnosť, že aritmetika nie je konzistentná teória. Jedným z dôvodov, prečo cítia pokoj, je pravdepodobne ten, že majú silný dôvod veriť, že čísla, ako aj mnohé iné matematické konštrukcie sú prvkami objektívnej reality, ktorá presahuje ľudské zmýšľanie. Pokiaľ je to tak, potom sa javí nepredstaviteľné, aby raz niekto dokázal, že naraz 1 + 1 = 2 aj 1 + 1 = 3. Logici nazývajú takýto pohľad na problém platonický.
Philip J. Davis s Reubenom Hershom napísali vo svojej knihe The Mathematical Experience (Matematická skúsenosť) v roku 1981, že typický pracujúci matematik je platonistom počas pracovných dní a formalistom v nedeľu. Inými slovami, pokiaľ stojíme pevne na zemi, musíme pripustiť, že nemôžeme vylúčiť kontradikcie v rámci matematiky. Na druhej strane nás to však nemôže zastaviť v tom, aby sme robili svoju prácu.
Ďalší pohľad poskytuje fakt, že vedci, ktorí nie sú matematikmi, sú platonistami každý jeden deň. Nespochybňujú, že 1 + 1 = 2. Dôkazom konzistencie aritmetiky je, že ľudia ju používajú už päťtisíc rokov a ešte neprišli na nijaký problém. Najlepším argumentom v prospech jej správnosti a univerzálnosti je, že prešla rôznymi kultúrami a érami úspešnejšie ako ktorýkoľvek jazyk, náboženstvo či hodnotový systém. Veď aj vedci zaoberajúci sa mimozemským životom očakávajú, že prvá mimozemská správa, ktorú dokážeme dešifrovať, bude matematická – čo plynie z povahy matematiky ako najuniverzálnejšieho jazyka.
Kniha vychádza vo vydavateľstve IKAR.
Súťažná otázka
Ak nám do 31. októbra 2021 pošlete správnu odpoveď na otázku:
Ktorá je vaša obľúbená rovnica a prečo?
zaradíme vás do žrebovania o knihu D. Mackenziovej: Príbeh matematiky v 24 rovniciach z vydavateľstva IKAR.
Svoje odpovede posielajte na adresu redakcie: odpovednik@quark.sk alebo Quark, Staré grunty 52, 842 44 Bratislava 4.