Niektoré rovnice sa nedajú vyriešiť priamo odvodením výrazu pre neznámu. Treba ich riešiť číselne, teda metódami numerickej matematiky. Takýto prístup si typicky vyžaduje mnohonásobné opakovanie matematických operácií. To však neprekáža, máme predsa počítače.
Na hodinách matematiky, fyziky alebo chémie sme riešili prevažne jednoduché rovnice – také, ktoré sa dali upraviť do tvaru, v ktorom na ľavej strane bola neznáma x a na pravej strane vzorec, do ktorého stačilo dosadiť hodnoty zo zadania. Napríklad z rovnice 3x + 1 = −2 vieme dostať x = (−2 − 1)/3 = −1. Ak je však x skryté vo funkcii, z ktorej sa nedá vytiahnuť, ako napríklad v rovnici 5x + 2 sin(3x + 1) = 4, nevieme sa ľahko dostať k tvaru x = [výraz neobsahujúci x]. Vo vedeckej praxi je to častá situácia.
Číselné riešenie
Čo vieme spraviť, je napísať x = [výraz obsahujúci x] pre rovnicu z nášho príkladu x = (4 − 2 sin(3x + 1))/5. Nasledujúci krok bude znieť zvláštne: tipneme si riešenie. Nemusí to však byť hádanie z brucha. Člen rovnice, pre ktorý ju nevieme spracovať do rozumného tvaru, môže byť malý alebo významovo (fyzikálne) pochádzať z javu, ktorý môžeme zanedbať – napríklad trenie alebo odpor vzduchu v mechanike či vplyv iných planét na dráhu Zeme okolo Slnka. Náš tip dosadíme do výrazu na pravej strane rovnice a vyčíslime. Ak sme dostali rovnaké číslo ako to, s ktorým sme začali, je to náš výsledok. Ak nie, vezmeme vypočítané číslo, to dosadíme do pravej strany a opakujeme, až kým nám nebude vychádzať rovnaké číslo (resp. sa budú meniť už len desatinné miesta za požadovanou presnosťou). Alebo kým, naopak, čísla nezačnú prudko rásť – v tom prípade si treba zvoliť iný počiatočný odhad alebo aj iný prístup k riešeniu.
Podobným spôsobom sa riešia situácie, keď nemáme len jednu rovnicu s jednou neznámou, ale sústavu mnohých rovníc s veľa neznámymi, najmä previazanými tak, že na riešenie prvej rovnice pre neznámu 1 treba poznať hodnoty neznámych 2, 3…, na získanie neznámej 2 z druhej rovnice treba poznať neznáme 1, 3… atď. Tipneme si riešenie, dosadíme, získame nové hodnoty a opakujeme. Keďže celý postup prebieha s konkrétnymi číslami, nie symbolmi, ide o numerickú (číselnú) matematiku. Numerické metódy umožnili okrem riešenia rovníc aj vykonávanie matematických operácií ako derivácie a integrály a tiež hľadanie hodnôt čísel ako pí na veľa desatinných miest. Aj keď nie všetky matematické úlohy sa dajú riešiť numericky, pre mnohé z tých, ktoré sa objavujú v kontexte prírodných vied, takýto prístup funguje. Keďže opakované dosádzanie a prepočítavanie je otravný proces, v ktorom sa dá ľahko pomýliť, je najlepšie prenechať ho strojom.
Prvé zamestnanie nahradené počítačmi
Napriek tomu, že numerické metódy sú v súčasnosti pevne zviazané s počítačmi, ich objav predchádza počítače o niekoľko storočí. Naznačujú to aj názvy významných numerických techník: Newtonova metóda (Isaac Newton, 1643 – 1727), Simpsonovo pravidlo (Thomas Simpson, 1710 – 1761) alebo Jacobiho iterácia (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804 – 1851). Typickou aplikáciou numerickej matematiky bolo predpovedanie astronomických úkazov (pozície planét či zatmenia). Tie mali okrem potvrdenia heliocentrického modelu aj praktické využitie v navigácii. Opakované matematické operácie vykonávali ľudia vybavení perom, papierom, abakusom a trpezlivosťou. Ich povolanie malo názov… počítač (často išlo o počítačky). S objavom digitálnych počítačov sa numerické metódy urýchlili, zjednodušili a rozšírili do takej miery, že pretvorili podobu viacerých vedeckých odborov a dali vzniknúť novým: výpočtová fyzika, teoretická a počítačová chémia, výpočtová neuroveda a ďalšie. Ľudskí počítači prišli o prácu.
Z tohto príbehu sa dá odniesť optimistický záver – repetitívnu prácu ľudských počítačov nahradilo zaujímavejšie zamestnanie programátoriek a programátorov či výpočtových vedkýň a vedcov. V ďalších dieloch minisérie o využití počítačov vo vede sa pozrieme na veľké počítačové simulácie a umelú inteligenciu.
P.S.: Riešenie rovnice je x = 1,197 066.
Lukáš Konečný
Prírodovedecká fakulta
Univerzita Komenského v Bratislave
Viac podobných článkov nájdete na stránke vedator.space. Vedátora môžete sledovať aj prostredníctvom bezplatnej mobilnej aplikácie.
