Trikrát o limitoch: Matematika

Paradoxy sa objavujú všelikde v rôznych formách. Sem-tam sa však stane, že niekto trafí klinec po hlavičke a paradox si odvtedy ponesie jeho meno. Dobrým príkladom je anglický filozof, matematik a logik Bertrand Russell a jeho paradox holiča.

Máme dedinu, v ktorej je holič. Holič je dobrák a tak povie, že bude holiť každého, kto sa nebude holiť sám, a nikoho iného. Zatiaľ je to všetko v poriadku, vybavuje zákazníka po zákazníkovi, až zrazu zostane jediný neoholený v dedine práve on sám. Má sa oholiť? Ak sa oholí, tak by sa nemal – holí predsa len tých, čo sa neholia sami. A ak sa neoholí, tak by sa mal. Neexistuje logicky konzistentná možnosť, obe možnosti sú zlé. Máme paradox, Russellov paradox holiča.

Dôkaz konzistentnosti

Iným podobným paradoxom je paradox klamára. Ak poviem: Klamem!, máte mi veriť? Ak áno, tak nie, a ak nie, tak áno. Oba tieto príklady sú problematické pri sebareferencii, a tak by človek nadobudol pocit, že problém je práve s ňou. V skutočnosti tkvie problém hlbšie a sebareferencia je len spôsob, ako tieto problémy zvýrazniť.

B. Russell tento paradox publikoval v roku 1901, tesne predtým, v roku 1889, sa ním zaoberal aj iný matematik, Ernst Zermelo. No a medzitým, v roku 1900, publikoval David Hilbert svojich 23 problémov, ktorými vytýčil cestu pre smerovanie matematiky v 20. storočí. Druhá z úloh znela dokázať, že matematika (presnejšie axiómy aritmetiky) je konzistentná. Riešenie priniesol o viac ako 30 rokov Kurt Gödel, rodák z Brna.

Pravdivé, ale nedokázateľné

Aj by sa patrilo povedať, že jeho objav ľuďom vyrazil dych, lebo by si to zaslúžil, jeho prednášku a jej dôsledky však takmer nikto nepochopil (okrem Johna von Neumanna, ktorý pracoval na podobnej úlohe). Postupne sa však dostal medzi odbornú komunitu a naozaj spôsobil zemetrasenie. Jeho záver – ak má byť matematika konzistentná, nemôže byť úplná. Čo si pod tým predstaviť? Že existujú pravdivé tvrdenia, ktoré sa však nedajú dokázať. Pritom dovtedy sa dúfalo, že zo základných axióm sa celá matematika dá vyskladať metódou veta-dôkaz. Zrazu sme mali vety bez dôkazu.

K. Gödelovi sa podarilo sofistikovanou konštrukciou zhotoviť v rámci aritmetiky tvrdenia na štýl: Toto tvrdenie sa nedá dokázať. Je očividne pravdivé. Prečo? Predstavme si, že by nebolo pravdivé. V takom prípade by sa dalo dokázať. Ale tým pádom by malo byť pravdivé – hľa, paradox! Takže berieme druhú možnosť, platí, no nedá sa dokázať.

Možno by sa tento odsek mohol začínať tvrdením, že z tohto šoku sa matematika nikdy úplne nespamätala. Pravda je však taká, že sa matematika nemala spamätať z čoho, takáto bola odjakživa. Bol to náš omyl, nie jej zlyhanie. Optimistická interpretácia teda môže byť, že matematika dokáže obsiahnuť aj veci, ktoré sme nečakali – ktoré nedokáže sama dokázať; pritom si však zachová svoju kľúčovú vlastnosť, konzistentnosť.

Autor článku: Samuel Kováčik
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave
Viac podobných článkov nájdete na webe vedator.space. Vedátora môžete sledovať aj prostredníctvom bezplatnej mobilnej aplikácie.

---

Súťažná otázka

Ak nám do 31. októbra 2025 pošlete správnu odpoveď na otázku:

Ako sa inak volá známy paradox klamára?

zaradíme vás do žrebovania o novú knihu Samuela Kováčika: Limity poznania z Vydavateľstva Slovart, ktorá vychádza tento mesiac. Svoje odpovede posielajte na adresu redakcie: odpovednik@quark.sk alebo Quark, Lamačská cesta 8A, 811 04 Bratislava.