Fyzika hudby

Hudba sprevádza ľudstvo odnepamäti a jej účasť na našom živote rozhodne neklesá. Väčšinou sme hudobní konzumenti, menšia skupina ľudí je viac či menej hudobne vzdelaná. Aj medzi hudobne vzdelanými však len málokto hlbšie rozumie fyzikálnej podstate zvuku a hudby.

osciloskop
Osciloskop, foto Dan Talson/Fotky&foto

Z predpovede počasia možno poznáte výraz vývoj tlaku vzduchu. Zvuk je podobný jav, len prebieha na iných časových a tlakových škálach. Pokiaľ zmeny tlaku v prípade počasia trvajú hodiny a dni, tak v prípade zvuku sa zmeny tlaku dejú na úrovni stotín a tisícin sekundy. Ak sú pri počasí bežné zmeny na úrovni kilopascalov, v prípade zvuku ide o širokú škálu tlakov od približne dvoch stotisícin pascalu, pričom veľmi hlasné zvuky zodpovedajú zmenám tlaku o tisícky pascalov. Zvuky používané v hudbe (tóny) sú špecifické, pretože zmenu tlaku vzduchu v čase opisuje periodická funkcia. Tón možno charakterizovať nasledovnými štyrmi vlastnosťami: dĺžkou, výškou, hlasitosťou a farbou. Farba odkazuje na hudobný nástroj. Tón s danou výškou môžeme zahrať s rovnakou hlasitosťou na klavíri aj na flaute. Potom povieme, že tieto dva tóny sa líšia farbou. Pre jednoduchosť a názornosť budeme používať tóny, ktoré zodpovedajú matematickej funkcii sínus. Takýto zvuk (približne) vydáva kovová ladička v tvare písmena Y (používaná napr. na ladenie klavírov).

VLASTNOSTI TÓNOV
Výška
Výška tónu vo fyzike znamená frekvenciu zmeny tlaku (čím je vyššia, tým je vyšší tón). V skutočnosti výška tónu, ktorý počujeme, jemne závisí aj od hlasitosti. Veľmi hlasné a nízke zvuky sa nám zdajú hlbšie než tiché zvuky s rovnakou frekvenciou. Rozsah ľudským uchom počuteľných frekvencií sa udáva v rozmedzí 20 Hz až 16 000 Hz. Starší ľudia obvykle horšie počujú vyššie frekvencie, aj preto niekedy nepostrehnú zvonenie mobilného telefónu či bytového zvončeka.

Ak sa nám jeden tón zdá dvakrát hlasnejší než druhý, nemožno jednoducho vynásobiť počet decibelov dvoma.

Vedci zo Strathclydskej univerzity v Škótsku zistili, že tympanálne membrány (niečo ako ušné bubienky) včelieho škodcu vijačky voštinovej reagovali aj na zvuk s frekvenciou 300 kilohertzov. Netopiere počujú zvuky po frekvenciu 212 kilohertzov, delfíny zachytia maximálne frekvenciu 160 kilohertzov. Foto Magistrát hlavního města Prahy

Són alebo fón?
Hlasitosť zvuku je ľahké pochopiť intuitívne, ťažšie ju však popísať fyzikálnymi jednotkami. Hlasnejší zvuk je ten, pri ktorom sa tlak viac mení, čiže ten, kde sa graf viac vlní vo zvislom smere. Fyzikálne je možné hlasitosť merať v jednotkách výkonu na plochu. Hlasitosť totiž nezávisí iba od výkonu zdroja (napr. reproduktora), ale aj od vzdialenosti: čím sme od zdroja ďalej, tým slabšie ho počujeme. Celková energia, ktorú zvuková vlna nesie, ostáva rovnaká (ak zanedbáme straty), vlna sa však šíri do priestoru (priestorovo rastie), a tak jej energetická hustota klesá. Detektory zvuku (ucho, mikrofón) zaznamenávajú zvuk na ploche (v prípade ucha je to povrch ušného bubienka), a preto je prirodzené hlasitosť popisovať veličinou rozmeru watt na štvorcový meter (W/m2). Hoci takýmto spôsobom formálne získame dobrý fyzikálny popis hlasitosti, ukazuje sa, že je nevhodný vzhľadom na vlastnosti ľudského ucha. Jedným z dôvodov je veľmi veľký rozsah. Ucho totiž dokáže počuť zvuky, ktoré začínajú pri 1012 W/m2, pričom hlasné zvuky prekračujú 1 W/m2 (rozdiel 12 rádov!). Tento problém môžeme odstrániť zavedením jednotky s názvom decibel (dB) pomocou logaritmickej funkcie. Nežiaducim dôsledkom bude ticho, zodpovedajúce mínus nekonečnu decibelov, pre počuteľné zvuky si však vystačíme s číslami od 0 (prah počuteľnosti) po 130.
Ukazuje sa, že ak sa človeku jeden tón zdá dvakrát hlasnejší než druhý, nemožno jednoducho vynásobiť počet decibelov dvoma. Okrem toho, v prípade hlasitosti platí, že jej vnímanie veľmi závisí od frekvencie. Ak máme teda dva tóny rovnakej hlasitosti (vyjadrenej v dB), tak sa nám tieto tóny (spravidla) zdajú rôzne hlasné pri inej výške (frekvencii). Čo sa týka ľudského vnímania hlasitosti, môžeme povedať, že sa stupnica vyjadrená v decibeloch nejaví ako ideálna. To bol aj dôvod zavedenia iných jednotiek, napr. sónfón, do veľkej miery umelo ušitých na ľudské ucho. Jednotka fón rieši problém, ako vnímame hlasitosť. Môžeme hovoriť o subjektívne vnímanej hlasitosti bez udania výšky tónu, čo sa nedá, ak intenzitu vyjadríme v decibeloch. Són navyše dobre vyjadruje relatívne vnímanú hlasitosť – ak sa človeku zdá jeden zvuk dvakrát hlasnejší než druhý, tak má dvakrát viac sónov.

Maskovanie tónov. Celý obrázok zodpovedá zvuku s frekvenciou 1 200 Hz. Môžeme sa pýtať, aké tóny nebudeme počuť v prípade, ak má zvuk hlasitosť 80 dB. Odpoveď dáva červená krivka, tóny poď ňou počuť nebudeme, tóny nad ňou áno. Napríklad tón s frekvenciou 2 000 Hz a hlasitosťou 40 dB (modrý krúžok) počuť nebudeme, budeme však počuť tón s frekvenciou 2 400 Hz a hlasitosťou 50 dB (zelený krúžok). Ilustrácia John Backus, The Acoustical Foundations of Music, 2nd Edition (1977)

Maskovanie
Skúsenosť nás učí, že silný hluk nám nedovoľuje vnímať slabšie zvuky. Tomuto hovoríme maskovanie a je to fenomén, ktorý závisí od hlasitosti aj frekvencie tónu. Ak máme istú výšku (frekvenciu) a hlasitosť (maskujúceho) tónu, môže nás zaujímať, aké iné tóny bude takýto zvuk maskovať. Keďže každému maskovanému tónu vieme priradiť frekvenciu a intenzitu, môžeme odpoveď zobraziť do dvojrozmerného grafu frekvencie a intenzity (v dB). Istá časť tónov v tomto grafe bude nepočuteľná, zvyšok je počuteľný. Hranicu medzi týmito oblasťami tvorí akási krivka – zvuky pod krivkou nie je možné počuť, zvuky nad ňou áno. Do jedného obrázku môžeme takýchto kriviek nakresliť viac, napríklad pre rôzne intenzity maskujúceho zvuku. Takže konečný obrázok zodpovedá (ako celok) konkrétnej výške maskujúceho zvuku (pre iné frekvencie treba nakresliť ďalšie obrázky), jedna vybraná krivka na obrázku zodpovedá hlasitosti maskujúceho zvuku a body pod touto krivkou zodpovedajú maskovaným tónom, ktoré pri danej výške a hlasitosti maskujúceho zvuku nedokážeme vnímať. Tento jav sa využíva pri zvukovom formáte mp3 a umožňuje kompresiu, zhutnenie zvuku – z nahrávky sa odstránia maskované zvuky, ktoré nemôžeme počuť, a tým sa zmenší veľkosť výsledného súboru.

Výška a hlasitosť: voči referenčnému tónu 1. je tón 2. vyšší a tón 3. hlasnejší.


Farba
Farbu tónu možno ľahko zadefinovať intuitívne: dva tóny rôznej farby sa líšia tvarom motívu, ktorý sa opakuje v grafe závislosti tlaku od času. Tieto tóny môžu pri tom mať rovnakú výšku (rovnaký počet opakovaných motívov v jednej sekunde) a rovnakú hlasitosť (meranú niektorým z už spomínaných spôsobov). Pri bližšom pohľade sa však veci trocha komplikujú. Ak totiž zahráme dva alebo viac rôznych tónov, nimi vyvolané tlakové zmeny sa (v bežnom rozsahu hlasitostí) sčítajú. A tak napríklad v prípade dvoch rôznych sínusových tónov na ladičke dostaneme tón bez sínusového priebehu. Keby sme sa presne držali vyslovenej definície farby, musíme povedať, že počujeme nový nástroj, ktorý má (vo všeobecnosti) inú a novú výšku než dva pôvodné tóny. Obvykle však takto farbu zvuku nevnímame. Výsledný zvuk nám znie ako ladička, vnímame ho ako súzvuk dvoch tónov. Vzniká tak celkom zaujímavá otázka: kde je hranica medzi zvukom viacerých tónov daného nástroja a zvukom nového nástroja? Je možné zahratím sínusového zvuku na viacerých rôznych ladičkách sčítaním vyskladať napríklad zvuk klavíra?

Pre dva tóny zahrané súčasne (modrá a červená krivka) sa ich tlakové prejavy sčítajú (zelená krivka). Perióda (opakujúci sa motív) je pre každú krivku znázornená hrubo a vyznačená farebnými krúžkami. Vidíme, že dva sínusové (časovo posunuté) tóny s rôznou frekvenciou (modrý 5, červený 7,5) vedú k výslednému tónu, ktorý nie je sínusový (má zložitejšiu štruktúru) a má inú periódu (15, a teda aj inú frekvenciu), než oba pôvodné tóny.

STUPNICE A LADENIA
Dobré znejúce intervaly a oktáva
Pod intervalom medzi dvoma tónmi sa v hudbe rozumie rozdiel frekvencií ich tónov. Napríklad tóny s frekvenciami 900 Hz a 1 300 Hz sú od seba vzdialené 400 Hz. Hudba vzniká kombináciou rôznych tónov. Niektoré tóny zahrané súčasne alebo krátko po sebe znejú pekne, iné nie. Vnímanie krásy je zrejme zložitá psychobiologická funkcia mozgu a nemožno ju jednoducho popísať. Predsa však jestvuje pravidlo vnímania hudby: ľuďom pekne znejú tóny, ktorých frekvencie sú v pomere malých celých čísel. Ak prijmeme toto tvrdenie, môžeme sa pustiť do budovania stupníc, ktoré chápeme ako sledy tónov rôznej výšky. Najjednoduchším pomerom dvoch (rôznych) celých čísel je 1 : 2. A naozaj, ak k tónu danej frekvencie zahráme druhý tón s dvojnásobnou frekvenciou, tak hovoríme, že druhý tón je o oktávu vyšší (napr. tón s frekvenciou 2 000 Hz je o oktávu vyšší než tón s frekvenciou 1 000 Hz). Ukazuje sa, že oktáva (používanie tónov s frekvenciami v pomere 1 : 2) jestvuje takmer vo všetkých hudobných systémoch rôznych kultúr. V našej európskej kultúre považujeme takéto tóny za natoľko previazané, že ich dokonca označujeme rovnakým písmenom (napr. tón c2 je o oktávu vyšší než tón c1).

Tým, že presne naladíme kvintu, pokazíme ostatné intervaly.

Portrét Giuseppeho Verdiho od Giovanniho Boldiniho. Slávny taliansky skladateľ bol najprv priaznivcom francúzskeho ladenia, neskôr podporil vedecké ladenie.

Chromatická stupnica
Tóny v oktáve sú od seba príliš vzdialené a je ich málo, na hudbu nestačia. Je potrebné dodať medzi ne ďalšie tóny. Ale ako? Odpoveď naznačuje už samotné rozmiestnenie tónov oktáv, každý tón o oktávu vyššie má dvojnásobnú frekvenciu než predošlý. Ďalšie tóny by mali byť tiež usporiadané v geometrickom (frekvenčnom) rade. Možno to podporiť aj nasledujúcou úvahou: predstavme si, že chceme nejakú skladbu zahrať vyššie, v hudobnej reči transponovať do vyššej tóniny. Potom každý tón skladby posunieme vyššie. Ak chceme, aby sa zachovali frekvenčné pomery medzi tónmi (t. j. aby po posúvaní skladba naďalej dobre znela), je potrebne vynásobiť frekvencie jednotlivých tónov tým istým číslom. Toto musí platiť aj pre dva susedné tóny posunuté, každý z nich, o jeden tón vyššie. Vzdialenosť dvoch susedných tónov sa v takomto prípade označuje ako poltón (dva poltóny tvoria celý tón).
Ak oktávu rozdelíme na 12 tónov, veľa z nich bude mať frekvencie približne v pomere malých celých čísel, pričom takéto priblíženie pre hudbu stačí. V prípade vzdialenosti o 7 poltónov (približný pomer frekvencií 1,5) hovoríme o kvinte, vzdialenosť o päť poltónov nazývame kvarta (približný pomer frekvencií 4 : 3), interval medzi dvoma tónmi vzdialenými o štyri poltóny nazývame (veľká) tercia (približný pomer frekvencií 1,25). Rad dvanástich poltónov v rozmedzí jednej oktávy sa nazýva chromatická stupnica. V súčasnej európskej hudbe je najčastejšie používané rovnomerne temperované ladenie, pri ktorom frekvencia tónu o poltón vyššie je vždy frekvencia pôvodného tónu vynásobená dvanástou odmocninou z 2, čo sa približne rovná 1,059 463 1. Stupnice možno vytvoriť aj v iných ladeniach, v pytagorejskom, stredotónovom a ďalších.

Na absolútnej škále je výška tónov definovaná na základe tónu komorného a, ktorý má frekvenciu 440 Hz. Nižšie a vyššie tóny budujeme delením a násobením tejto frekvencie číslom 1,059 463 1. Podľa platnej definície sekundy atómovými hodinami ako 9 192 631 770 periód elektromagnetického žiarenia atómu cézia 133Cs pri teplote 0 kelvinov by napresnejším ladením bolo 441 Hz, čo by zodpovedalo presne 20 844 970 periódam tohto prírodného nerádioaktívneho izotopu. Predtým sekundu počítali ako 1/(24 × 3 600) = 1/86 400 dňa, alebo ako 215 = 32 768 oscilácií kryštálu kremíka, používaného v hodinárstve.

Džezové a
V polovici 19. storočia v Európe ladili komorné a v rozmedzí frekvencií 434 až 456 Hz. Vo Francúzsku komisia siedmich hudobníkov (Berlioz, Rossini, Halevy, Meyerbeer, Auber, Monnais a Thomas), dvoch fyzikov (Lissajous a Despretz) a generála Mellineta nariadila v roku 1859 štandardné ladenie na 435 Hz. Na kongrese talianskych hudobníkov v roku 1881 schválili 432 Hz, tzv. vedecké ladenie. V roku 1885 však na konferencii vo Viedni vybrali za medzinárodný štandard francúzsku hodnotu 435 Hz. V roku 1910 exponent amerického námorníctva John Calhoun Deagan presvedčil Americkú federáciu hudobníkov zaviesť ladenie 440 Hz pre orchestre a skupiny, čo prijala aj americká vláda. Francúzske ladenie prevažovalo do roku 1939 a doteraz platí vo Francúzku. Na žiadosť doktora Grutmachera a rádia Berlin však zorganizovali v Londýne v polovici roku 1939 kongres, kde prijali ladenie 440 Hz. Ďalší kongres v roku 1953 potvrdil frekvenciu 440 Hz údajne vďaka tlaku výrobcov píšťal, ktorí ich chceli predávať v USA. Tam pod vplyvom džezu ladili aj na vyššie frekvencie.

Oceľová vidlicová ladička (440 Hz) výrobcu König & Meyer, foto bigmusic.sk

Iné ladenie a stupnice
Rovnomerné temperované ladenie je len jedno z viacerých používaných ladení. Je však používané najčastejšie, a to najmä pre nástroje s veľkým rozsahom, kde prichádza do úvahy transponovanie skladby do iných, vzdialených tónin. Ako príklad odlišného ladenia možno uviesť kvintové ladenie, pri ktorom sa kvinta presne naladí na frekvenčný pomer 3 : 2. Samozrejme, tým, že presne naladíme kvintu, pokazíme ostatné intervaly. Nie je možné na jednom mieste získať bez toho, aby sme niekde inde nestratili.
Ak zahráme spolu so základným tónom (tón číslo 1) postupne tóny číslo 3, 5, 6, 8, 10 a 12 chromatickej stupnice, zahráme tzv. durovú stupnicu s názvom najnižšieho tónu (t. j. ak tón číslo 1 je c, tak hráme stupnicu C dur, ak je to tón ges, tak stupnicu Ges dur atď.). Tóny 1, 3, 4, 6, 8, 9 a 11 zase zodpovedajú tzv. molovej (tiež aiolskej) stupnici. Je známe, že durová stupnica ľudom znie veselo, tvrdo, molová stupnica zase smutne a mäkko. Jestvuje aj veľké množstvo iných stupníc, najmä hudobní skladatelia ich musia poznať veľmi dobre. Zvolenie vhodnej stupnice pomáha docieliť vyznenie skladby podľa predstáv autora. Vo všeobecnosti stupnice v sebe zvyknú obsahovať pekne znejúce intervaly (kvinty, kvarty, tercie, sexty), horšie znejúce vynechávajú.

Dr. Rer. Nat. Ing. Mgr. Andrej Liptaj, PhD.
Fyzikálny ústav SAV

Poďakovanie
Tento text vznikol aj vďaka podpore z grantov APVV-0463-12 a VEGA 1/0158/13.

Tento článok si môžete prečítať v časopise Quark 09/2015.

Ak chcete mať prístup aj k exkluzívnemu obsahu pre predplatiteľov alebo si objednať tlačenú verziu časopisu Quark, prihláste sa alebo zaregistrujte.

Komentáre