Pružinový paradox

Braessov paradox hovorí, že pridanie nového úseku do cestnej siete môže spomaliť celkový dopravný tok v nej. My si ukážeme pokus, v ktorom odstránením skratky, prestrihnutím nite, dôjde k presne opačnému efektu, než ktorý by sme intuitívne očakávali.

Videonávod tohto experimentu, ako aj všetkých predchádzajúcich, nájdete na webovej stránke video.matfyzjein.sk/experimenty.

Pomôcky

Dve pružiny, špagát na prestrihnutie, pevnejšie lanká, závažie, nožnice, spojovacie prvky (napr. háčiky), bod úchytu sústavy (napr. tyč)

Postup

Dve pružiny spojíme špagátom na prestrihnutie, pričom jeho dĺžka by mala byť len približne dva centimetre. Na takto za sebou spojené pružiny zavesíme závažie. Lankom spojíme spodný úchyt hornej pružiny a závažie tak, aby lanko bolo pri voľne zavesenom závaží bez napnutia, ideálne jemne uvoľnené. Druhým lankom spojíme horný úchyt spodnej pružiny a bod úchytu celej sústavy. Aj toto lanko by malo byť jemne uvoľnené.

Realizácia

Sústavu zastavíme a závažie necháme voľne visieť. Poznačíme si jeho polohu. Otázkou je, kam sa pohne, hneď ako prestrihneme špagát spájajúci pružiny.

Pozorovanie

Keďže spojovacie lanká sú uvoľnené a prestrihneme spojovací špagát, naším očakávaním pravdepodobne bude, že sa závažie posunie smerom nadol. Opak bude pravdou, po prestrihnutí spojovacieho špagátu sa závažie posunie smerom nahor.

Kedy sa pokus nevydarí? Ak ste spojovacie lanká naviazali príliš uvoľnene. Ak ste použili kombináciu pružín a závažia, ktoré napne pružiny len minimálne. Ak máte nekvalitné pružiny, ktoré sa deformujú tiažou závažia.

Vysvetlenie

Keď zavesíme závažie na jednu z pružín, jej predĺženie je priamo úmerné tiaži, ktorá na pružinu pôsobí, napríklad x. Keď zavesíme dve rovnaké pružiny pod seba a zavesíme na ne to isté závažie, celkové predĺženie bude dvojnásobkom predĺženia jednej pružiny, teda 2x. Na hornú aj dolnú pružinu pôsobí tiažová sila závažia (samozrejme, ak zanedbáme tiaž druhej pružiny), takže obe pružiny sa predĺžia o x. Ak ich zavesíme vedľa seba, tak každá z nich nesie iba polovicu tiaže závažia a ich predĺženie bude 1/2x.

Na začiatku pokusu máme pružiny spojené špagátom – sú spojené pod sebou a ich celkové predĺženie je 2x. Prestrihnutím špagátu a napnutím lán sme dosiahli paralelné zavesenie pružín a celkové predĺženie pružín bude 1/2x. Závažie by teda mohlo poskočiť až o polovicu x hore. No pôvodné laná na bokoch mali previs, ktorý sa od tohto poskočenia musí odrátať. Ak je menší ako 1/2x, závažie sa musí nutne posunúť nahor, ak väčší, závažie spadne.

História pokusu

Jav podobný Braessovmu paradoxu predstavil ekonóm Arthur Pigou už v roku 1920, no jeho matematický popis priniesol až Dietrich Braess v roku 1968. Hovorí o tom, že budovaním nových úsekov diaľnic sa situácia v mestách môže paradoxne zhoršiť. Jeho komplexné vysvetlenie môžete nájsť na internete. To jednoduché je, že dve oddelené pomalšie trasy môžu byť pre dopravu výhodnejšie ako vybudovanie skratky, ktorá spojí trasy do jednej rýchlejšej. Tento paradox sa vyskytuje aj v elektrických rozvodných sieťach, biologických a ekologických systémoch či stratégii športových tímov.

Jedným z jeho známych využití boli v roku 1990 oslavy Dňa Zeme v New Yorku, kde práve zatvorenie 42. ulice zlepšilo očakávanú dopravnú katastrofu v meste.

Autorka článku: PaedDr. SOŇA GAŽÁKOVÁ, PhD.
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave