Píše sa rok 1225 a Leonardo Pisano sa dozvedá, že ho cisár Fridrich II. vyzýva na súťaž spolu s ďalšími expertmi. Cieľom je splniť niekoľko úloh vybraných jeho dvorným filozofom Jánom z Palerma.

Nikto sa nečuduje, že Leonardo dostal takúto pozvánku. Je totiž vo svojom odbore – matematike – veľké meno. V súčasnosti ho poznáme skôr pod jeho prezývkou Fibonacci.
Kongruá
Jednou z úloh je nájsť tri racionálne čísla A, B, C (teda zlomky), ktorých štvorce (druhé mocniny) majú medzi sebou postupne vzdialenosť práve 5. Inak povedané, A2 + 5 = B2, B2 + 5 = C2. Fibonacci úspešne nachádza riešenie: A = 31/12, B = 41/12, C = 49/12. Tento problém ho celkom zaujme, a tak sa neskôr pokúša zodpovedať ťažšiu otázku: ku ktorým prirodzeným (kladným celým) číslam N existujú nejaké prirodzené čísla A, B, C, ktorých štvorce sú od seba postupne vzdialené o N? Inak povedané A2 + N = B2, B2 + N = C2. Číslo N, ku ktorému možno nájsť takú trojicu A, B, C, nazve Fibonacci kongruum.
Ešte v tom istom roku 1225 vydáva knihu s prozaickým názvom Kniha štvorcov, kde ukazuje proces, ktorým možno zostrojiť všetky kongruá. Je ich nekonečne veľa – najmenšie z nich je 24, spĺňajúce uvedené rovnosti pre A = 1, B = 5, C = 7. Okrem iného z tejto konštrukcie vyplýva jednoduchá metóda na zistenie, či je ľubovoľné dané číslo N kongruum, alebo nie. Fibonacci tiež pozoruje, že ani jedno kongruum samo nie je štvorcom (druhou mocninou prirodzeného čísla), neposkytuje o tom však dôkaz. Ten nám prinesie až o viac ako štyristo rokov neskôr ďalší velikán matematiky Pierre de Fermat.

Kongruentné čísla
S kongruami úzko súvisí iný matematický problém, týkajúci sa tentoraz pravouhlých trojuholníkov. Už od dávnych čias vieme, že existujú pravouhlé trojuholníky, ktorých všetky tri strany majú celočíselné dĺžky. Najznámejším protagonistom tejto triedy je trojuholník so stranami merajúcimi 3, 4, 5 a obsahom 6. Všeobecnejšie nás môžu zaujímať trojuholníky, ktorých všetky strany majú racionálne dĺžky (dĺžky vyjadriteľné zlomkom) a ich obsah je celé číslo. Takéto celé čísla nazývame kongruentné čísla. Teda kongruentné číslo je také celé číslo, ktoré vyjadruje obsah nejakého pravouhlého trojuholníka so stranami racionálnych dĺžok. Nie je ťažké ukázať, že každé kongruum je samo osebe kongruentné číslo a, naopak, každé kongruentné číslo je možné získať predelením niektorého kongrua vhodným štvorcom.

Napríklad 6 je kongruentné číslo. Môže byť aj nejaké menšie? Ukazuje sa, že áno. Existuje totiž pravouhlý trojuholník so stranami dĺžok 20/3, 3/2, 41/6, ktorého obsah je 5. Po Fibonacciho úspechu s kongruami sa môžeme opýtať: Existuje nejaká všeobecná metóda na zistenie toho, či je ľubovoľné číslo N kongruentné, teda či existuje racionálny pravouhlý trojuholník s obsahom N? Napriek tomu, že kongruá s kongruentnými číslami veľmi úzko súvisia, ukazuje sa, že toto je oveľa komplikovanejší problém. Všimnime si, že napríklad na to, aby sme ukázali, že 5 je kongruentné, sme museli zo zásuvky vytiahnuť trojuholník s pomerne netradične dlhými stranami.
Čiastočné riešenie
Nie je však pravda, že by sme úplne tápali v tme. Napríklad v 70. rokoch 20. storočia našiel americký matematik Jerrold Bates Tunnell jednoduchý algoritmus, ktorým sa dá jednoznačne zistiť, či je dané číslo kongruentné, alebo nie. Háčik spočíva v tom, že Tunnellova veta predpokladá platnosť tzv. Birchovej a Swinnertonovej-Dyerovej hypotézy. Nuž a tá je doteraz nedokázaným tvrdením napriek tomu, že sa na prelome tisícročí ocitla na zozname miléniových problémov a za jej vyriešenie je odmena milión dolárov.
Kongruá a kongruentné čísla tak prešli pomerne dlhým vývojom – od slnečného stredovekého Stredozemia a géniov Fibonacciho a Fermata až ku kabinetom a prednáškovým sálam moderných matematikov – a ešte majú poriadny kus cesty pred sebou.
Fridrich Valach
University of Hertfordshire
Spojené kráľovstvo
Viac podobných článkov nájdete na stránke vedator.space. Vedátora môžete sledovať aj prostredníctvom bezplatnej mobilnej aplikácie.