Šikmá veža v Lire

Názov tohto experimentu odkazuje na teoretický problém súčtu nekonečného radu navŕšených kníh. Otázkou je, koľko kníh musíme na seba naukladať, aby sme tú najvrchnejšiu dokázali dostať mimo plochy stola bez toho, aby nám veža spadla. Odpoveď nás prekvapí – teoreticky stačia štyri knihy.

Videonávod tohto experimentu, ako aj všetkých predchádzajúcich, nájdete na stránke video.matfyzjein.sk/experimenty.

Pomôcky

15 až 30 drevených blokov, v našom prípade sme použili stavebnicu s blokmi rozmerov 117 × 23 × 8 mm. Pokus bude fungovať aj s balíčkom kariet, sadou kníh s tvrdou väzbou, doskami na krájanie či inými kvádrami pravidelných tvarov, ktoré objavíme doma v počte aspoň 15 kusov.

Postup

15 blokov rovnakých rozmerov naukladáme na okraj stola na seba tak, aby sme vytvorili vežu z blokov, pričom ich najdlhšia strana smeruje kolmo na okraj stola. Začneme prvým blokom odhora. Posunieme ho tak, aby takmer polovicou presahoval blok pod ním, ale aby ešte vždy zotrval na svojom mieste. Potom spolu posunieme prvý a druhý blok tak, aby druhý blok prečnieval, ale neprevážil sa a stabilne ležal nad okrajom. Postupne takto posúvame ďalšie bloky.

Pozorovanie

Môžeme si všimnúť určitú matematickú postupnosť v presahu každého nasledujúceho bloku. Prvý blok prečnieva ponad druhý svojou polovicou, druhý nad tretím svojou štvrtinou a každý ďalší ešte o kúsok menej. Každý ďalší posunutý blok sa nedá presunúť tak ďaleko ako ten predchádzajúci. Čím väčší počet blokov posúvame, tým kratšia vzdialenosť je možná, kým celá veža nespadne.

Vysvetlenie

Keď posunieme horný blok tak, že ešte udrží rovnováhu, jeho ťažisko sa nachádza priamo nad okrajom bloku pod ním. Pri každom posunutí bloku nachádzame nové ťažisko celej hornej časti veže, teda posúvaného bloku a všetkých blokov nad ním. Okraj každého bloku slúži ako oporný bod, ktorý nesie váhu blokov nad ním.
Ak uvažujeme o polohách ťažísk blokov počas budovania veže, môžeme ukázať, že prvý blok bude posunutý o 1/2 dĺžky bloku pozdĺž druhého bloku, horné dva bloky o 1/4 dĺžky pozdĺž tretieho bloku, horné tri bloky o 1/6 dĺžky pozdĺž štvrtého bloku, horné štyri bloky o 1/8 dĺžky pozdĺž piateho bloku atď. Nevyhnutné odchýlky v praxi spôsobené faktormi ako nerovnosť blokov alebo nepresná poloha rovnovážneho bodu spôsobia, že skutočné hodnoty sa nebudú úplne zhodovať s teóriou, no budú pravdepodobne dostatočne blízko na pochopenie princípu.

Matematika

Môžeme pozorovať postupnosť pre n kníh: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10… 1/2n. Pre dĺžku maximálneho presahu prvej knihy zasa môžeme sledovať postupnosť: 1/2, 3/4, 11/12, 25/24, 137/120… Otázkou zostáva, či po umiestnení n identických blokov na seba tak, aby sme maximalizovali prečnievanie mimo stola, možno dosiahnuť ľubovoľne veľký previs. Otázku môžeme zredukovať na to, či je súčet nášho prvého radu konečný alebo nekonečný. Keď však budeme sčítavať jednoduchý rad čísel 1, 2, 3, 4, 5…, ich súčet bude nekonečno. No musíme si uvedomiť, že existujú nekonečné rady, ktorých súčet členov môže byť konečným číslom. Pekným príkladom je geometrický rad 1, 1/2, 1/4, 1/8…, ktorého súčet sa dá znázorniť geometricky. Máme dva štvorce vedľa seba. Žltý štvorec predstavuje 1, modrý je 1/2 žltého, zelený je 1/4, oranžový 1/8, šedý 1/16… biely by sme takto mohli donekonečna deliť, ale už tušíme, že celkový súčet bude 2.
Náš rad reprezentujúci previs veže z kníh nad plochou stola je nekonečný. Takže teoreticky vieme zrealizovať ľubovoľne veľký presah veže z blokov, musíme si však uvedomiť, že limitujúcim je pre nás počet blokov, ktoré máme k dispozícii, ako aj ich celková výška, ktorá môže presiahnuť náš dosah.

Autorka článku: PaedDr. Soňa Gažáková, PhD.
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave
Foto a video Stanislav Griguš
Svoje realizácie experimentov môžete posielať na adresu sona.gazakova@fmph.uniba.sk.